电子表格线性编程

本文概述

• 线性规划导论
• LPP的基本概念
• LPP问题公式化(带有示例)
• 解决电子表格中LPP的图形方法
• LPP的用例
• 总结

作为公司的经理, 你总是拥有有限或有限的资源, 而高层管理人员的期望是让你最大程度地利用它。从时间生产率到资本利用率, 从土地到劳动力, 从供应链到生产, 几乎你要做的所有事情都是优化生产率。

大多数航空公司都会优化航班时刻表, 以获取最高的收入和最低的成本。这些航空公司的时间表涉及很多情况和限制, 例如特定位置的飞机数量, 燃料, 机组人员以及航线类型(受欢迎的航线和有利可图的航线)。这些情况和限制被称为在最流行和最有利的航线上飞行飞机的限制。线性规划用于找到给定约束问题的解决方案。

在本教程中, 你将学习线性编程, 并且将涉及以下主题：

• 线性规划导论
• LPP的基本概念
  • 决策变量
  • 约束条件
  • 目标功能
  • 最佳解决方案
  • 可行的解决方案
  • 不可行的解决方案
  • 可行区域
  • 非负约束
• LPP问题公式化(带有示例)
• 解决电子表格中LPP的图形方法
• LPP的用例
• 总结

线性规划导论

在数学上, 线性规划优化(最小化或最大化)多个变量的线性目标, 这些变量要满足满足一组线性不等式的给定条件/约束。线性规划可用于计划经济活动, 例如货物和服务的运输, 制造产品, 优化电力系统和网络流量。 LP问题可以使用不同的技术来解决, 例如Graphical, Simplex和Karmakar的方法。

LPP的基本概念

让我们看一下线性编程的基本术语：

• 决策变量是将作为目标函数使用的变量。这些变量决定你的输出。决策者可以使用决策变量来控制目标函数的值。解决任何线性规划问题时, 首先需要确定决策变量。
• 约束是一组约束或情况条件。约束可以是相等或不相等的形式。约束限制决策变量的值。
• 目标函数是最大化或最小化的利润或成本函数。这是制定决策的主要目标。
• 最佳解决方案是目标函数为最大值或最小值(例如, 最大利润或最小成本)的可行解决方案之一。这是目标函数的最佳值。

• 可行的解决方案是满足所有约束的决策变量可能值的集合。如果至少一种解决方案可行, 则LP问题可行。
• 不可行的解决方案是不满足所有约束的决策变量的可能值的集合, 即没有最佳解决方案。如果不存在满足所有约束条件的解决方案, 则LP问题是不可行的解决方案。
• 可行区域是从满足约束或所有约束的交集的所有可能值覆盖的区域。它包括所有不等式, 等式和整数约束。
• 仅接受非负值的决策变量的非负约束。这样的约束大于或等于零。

LPP问题公式化(带有示例)

制定线性规划模型涉及以下步骤：

• 确定决策变量
• 确定目标函数
• 确定约束
• 定义非负约束

在线性规划问题中, 决策变量, 目标函数和约束都必须是线性函数

问题陈述：一家家具经销商仅出售两件物品-桌子和椅子。他有50, 000卢比的投资资金, 最多可存放60件物品。一张桌子的价格为2500卢比, 一张椅子的价格为500卢比。他估计, 从一张桌子的销售中, 他可以获利250卢比, 从一张椅子的销售中可以获利75卢比。他想知道有多少张桌子和假设他可以卖出他购买的所有物品, 他应该从可用的钱中购买来最大化他的总利润。 (资源)

在此示例中, 你观察到–

1. 经销商可以把钱投资在购买桌子或椅子上, 或两者结合。此外, 他通过遵循不同的投资策略将获得不同的利润。 (资源)
2. 他的投资上限为50, 000卢比, 因此他的存储空间最多为60件。 (资源)

数学公式：

假设他决定只购买桌子而不购买椅子。因此, 他可以买入50000/2500 = 20张桌子。在这种情况下, 他将获得250 x 20 = Rs的利润。 5000。或者他决定只购买椅子而不购买桌子。因此, 他可以购买50000/500 = 100张椅子。

在这种情况下, 他将获得75 x 60 = Rs的利润。 4500。

他可能会购买许多桌子和椅子。

假设他购买了X张桌子和Y张椅子。因此, X和Y必须为非负数。

1. 经销商的最高金额为卢比。 50000用来购买桌子和椅子–

   2500 X + 500 Y <= 50000(投资约束)或5 * X + Y <= 100…………………………………………………………。式1

1. 他最多可以存储60个单位。

   X + Y <= 60…………………………………………………………。式2

1. 交易商想要购买这样的数量, 以便他可以最大化其利润Z, 因此等式为–

   最大Z：250 X + 75 Y

物镜功能：最大Z：250 X + 75 Y

受限制条件：

5 * X + Y <= 100, X + Y <= 60 and
X, Y >= 0

资料来源：http://ncert.nic.in/ncerts/l/lemh206.pdf

解决电子表格中LPP的图形方法

线性编程实例

物镜功能：最大Z：250 X + 75 Y

受限制条件：

5 * X + Y <= 100, X + Y <= 60 and

Where X, Y >= 0

步骤1：让我们使用excel编写函数, 如下所示。

步骤2：在电子表格中编写目标函数和约束后, 让我们计算约束C1和C2的值。你可以通过将另一个变量值设为零来计算的值。与C1一样, 在X = 0时, Y的值为Y = 100, 在Y = 0时, X的值为X =20。类似地, 对于约束C2

步骤3：现在, 在计算值之后, 让我们绘制图表。选择C1约束值, 插入并用平滑线绘制散点图。你可能会看到这样的图表。

如果看起来像这样, 请不要担心, 请按照以下步骤进行更改。右键单击图表, 转到”选择数据”, 你将在其中看到两个系列, 删除系列2和编辑系列1。

将系列命名为C1, 并将其X值更改为C1的A列值, 并将Y值更改为C1的B列值。然后单击, 确定。你将看到如下图所示的图表：

步骤4：4.同样, 右键单击图表转到”选择数据”, 然后添加另一个系列。将其命名为C2, 在X值中选择约束C2 X列值, 在Y值中选择约束C2 Y列值。你的图表如下图所示：

步骤5：现在已经绘制了图形, 你需要查看可行区域：

现在在可行区域中有4个点(O, A, B, C), 你需要在所有点上计算目标函数值, 以查看哪个点为你提供了目标的最大值。

步骤6：要计算目标函数值, 请执行以下步骤：

计算每个点值的目标函数：

• 在点O处(X, Y)的坐标值为(0, 0)因此目标函数值将为=(2500 + 750)= 0
• 在点A处, (X, Y)的坐标值为(0, 60), 因此目标函数值为=(2500 + 753)= 4500
• 在点B处(X, Y)的坐标值为(20, 0)因此目标函数值将为=(2503 + 750)= 5000
• 在点C要找到在点Z的坐标值, 需要找到约束线C1和C2的交点。你将使用MMULT()和MINVERSE()函数来计算两个方程的交集。
• MMULT(MINVERSE(array), array)＃这给出具有两个变量Or的方程组的解的值, 或者= MMULT(MINVERSE(AB17：AC18), AE17：AE18), 在使用此公式之前, 请选择X和Y值单元格黄色突出显示的单元格, 并使用此函数计算两个方程的交点, 然后按CTRL + SHIFT + ENTER

Z的最终值：

正如你在此线性最大化问题中看到的那样, 你在B点获得了Z的最大值, 最大值为Rs。 6250.因此, 为了使利润最大化, 经销商必须购买10张桌子和50张椅子。

LPP的用例

应用线性规划来找到运筹学的最佳解决方案。在给定的约束和约束下, LP可以找到最佳的解决方案。 LP适用于各种问题, 例如农业, 工程, 制造, 能源, 物流和供应链中的经济活动。

• 工程师在制造和生产行业中应用线性编程来优化可用资源, 从而使他们获得最大的利润。
• 物流和运输行业使用线性规划来找到最短的路径/路线, 旅行时间和定价策略。
• 工程师将线性编程应用于能源领域。它们优化了电负载, 最短的配电线, 还优化了电网设计。
• 在农业领域, 工程师可以使用线性规划来确定农作物的种类和应种植的农作物的数量, 以有效地增加收入。
• 在食品工业中, 线性规划可以帮助健康管理人员和营养学家规划饮食需求, 并设置低成本食品, 以远离非传染性疾病。

总结

恭喜, 你已完成本教程的结尾！

你已经介绍了很多有关线性编程的细节。你了解了线性编程是什么, LP中使用的基本概念和术语, LP问题表述, 使用图形方法解决LP问题以及LP问题的用例。

希望你现在可以利用线性编程概念在组织中进行决策或为决策者优化结果。感谢你阅读本教程！

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